1. 前言
树是计算机科学中常用的一种数据结构，具有广泛的应用。在本文中，我们将探讨顶点度数之和为L的树的数量问题，给出求解方法并分析复杂度。
2. 顶点度数之和为L的树定义
2.1 顶点度数
在无向图中，每个点都有一个度数，表示连接到该点的边的数目。对于有向图，每个点都有两个度数：入度和出度。在本文中，我们关注的是无向图中的顶点度数。
2.2 树的定义
在图论中，树是一种特殊的连通无向图，它不包含任何环。一棵树有一个根结点，其他结点可以分为若干层，每个结点最多只有一个父结点，但可以有多个子结点。
2.3 顶点度数之和为L的树
顶点度数之和为L的树是一棵树，它的各个结点的度数之和等于L。
3. 暴力求解
要求顶点度数之和为L的树的数量，我们可以采用暴力枚举的方法。具体来说，我们可以先枚举树的结点个数N，然后枚举每个结点的度数，计算每种情况下的树的数量。
假设当前已选定N个结点，我们需要将这N个结点连接成一棵树，使得它们的度数之和等于L。根据握手定理，N个结点的无向图的度数之和是2N，因此我们需要再添加2N-L条边才能构成一棵树。此时我们需要确保每个结点的度数都不超过N-1，否则该无向图就不再是一棵树。
通过上述方式，我们可以暴力计算出所有顶点度数之和为L的树的数量。然而，由于枚举空间很大，这种方法的复杂度很高，无法处理大规模的数据。
4. 程序实现
下面是一个使用递归实现暴力求解的C++程序，其中tree[n][k]表示n个结点的度数之和为k的树的数量：
int tree[MAX_N][MAX_L];
int solve(int n, int l) {
if (n == 1 && l == 0) {
return 1;
}
if (n == 0 || l < 0 || l > n * (n - 1) / 2) {
return 0;
}
if (tree[n][l] != -1) {
return tree[n][l];
}
int cnt = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 0; j <= l - i; j++) {
cnt = (cnt + solve(n - i, l - i - j)) % MOD;
}
}
return tree[n][l] = cnt;
}
int main() {
memset(tree, -1, sizeof(tree));
int n, l;
scanf("%d%d", &n, &l);
printf("%d\n", solve(n, l));
return 0;
}
该程序的时间复杂度为O(N^3L)，其中N为树的结点数，L为顶点度数之和。
5. 优化求解
5.1 握手定理的应用
根据握手定理，一张无向图的边数等于它所有结点度数之和除以2。因此，我们可以将求顶点度数之和为L的树的数量问题转化为求顶点度数之和为2L，边数为2L-N+1的无向图的数量问题（N为结点数）。
我们可以使用类似背包的思想，将所有结点的度数之和拆分成两份L1和L2，分别表示向外连的边数和向内连的边数。此时一个结点的度数k可以拆分成k个向外的边和k个向内的边。因此，我们可以枚举各个结点向外连的边数和向内连的边数，计算满足要求的颗粒图的数量。
具体来说，我们可以通过动态规划求解。令dp[i][j][k]表示前i个结点的向外连的边数之和为j，向内连的边数之和为k的颗粒图的数量。枚举第i个结点向外连的边数m和向内连的边数n，有如下状态转移方程：
dp[i][j][k] = dp[i-1][j-m][k-n] (j >= m, k >= n)
如果j<m或k<n，dp[i][j][k]的值为0。最终答案即为dp[N][L1][L2]。
5.2 程序实现
下面是一个使用动态规划求解的C++程序：
int dp[MAX_N][MAX_L][MAX_L];
int solve(int n, int l) {
int L1 = l / 2, L2 = l - L1;
if (n == 1 && L1 == 0 && L2 == 0) {
return 1;
}
if (n <= 0 || L1 < 0 || L2 < 0) {
return 0;
}
if (dp[n][L1][L2] != -1) {
return dp[n][L1][L2];
}
int cnt = 0;
for (int i = 0; i <= n - 1; i++) {
for (int j = 0; j <= L1 - i; j++) {
for (int k = 0; k <= L2 - i; k++) {
cnt = (cnt + solve(i, j) * solve(n - i - 1, L1 - i - j) % MOD * solve(n - i - 1, L2 - i - k) % MOD) % MOD;
}
}
}
return dp[n][L1][L2] = cnt;
}
int main() {
memset(dp, -1, sizeof(dp));
int n, l;
scanf("%d%d", &n, &l);
printf("%d\n", solve(n, l));
return 0;
}
该程序的时间复杂度为O(N^3L)，与暴力枚举方法相同。但由于动态规划避免了重复计算，实际运行速度会比暴力枚举方法快很多。
6. 总结
本文中，我们讨论了顶点度数之和为L的树的数量问题。通过暴力枚举和动态规划两种方式，我们可以求出所有顶点度数之和为L的树的数量。然而，由于枚举空间很大，这种方法的复杂度很高，无法处理大规模的数据。
如果读者有更好的解决方案，欢迎在评论区中留言。同时，也欢迎读者通过阅读本文，掌握树的基本概念，以及动态规划的应用。谢谢阅读！